In allgemeinster Form ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, das mit seinesgleichen addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Eine Multiplikation von Vektoren ist im Allgemeinen nicht definiert.

Im dreidimensionalen Raum können Vektoren als Pfeile mit einer Länge und einer Richtung veranschaulicht werden.

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Geometrie

Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Figur an die Position ABC zu verschieben, muss jeder Punkt um 7 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils . Da diese Pfeile in Länge, Richtung und Orientierung alle übereinstimmen, fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen, die man ebenfalls kurz mit bezeichnet. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse. Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung, die ihre Pfeile bewirken, im Beispiel:

im dreidimensionalen Raum entsprechend mit 3 Komponenten, siehe weiter unten und Hauptartikel: Translation (Mathematik).

Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den „herkömmlichen“, geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist auch jeder Vektor ein Tensor, obwohl man per Konvention zweidimensionale Vektoren als Matrix und mehrdimensionale Vektoren als Tensoren bezeichnet. Auch alle benannten Größen - wie Längenangaben in m, Geldbeträge usw. - sind in diesem Sinn Vektoren.

In der Differentialgeometrie, der Physik und der